Rumus dan Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru #1

Bagian 1 - Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kali akar-akar persamaan kuadrat awal. Salah satu materi dalam topik persamaan kuadrat yang harus kita pelajari adalah menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan persamaan kuadrat yang diketahui. Menyusun persamaan kuadrat baru dari persamaan yang diketahui dapat kita lakukan jika akar-akar kedua persamaan kuadrat tersebut saling berhubungan. Dengan kata lain, kita memanfaatkan hubungan akar-akar dari persamaan kuadrat untuk menyusun atau membentuk persamaan kuadrat baru.

Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru 

Pada topik ini, kita akan membahas sembilan rumus untuk menyusun persamaan kuadrat baru. Rumus-rumus tersebut merupakan bentuk umum yang sering dikeluarkan dalam soal.

Pada bagian pertama (#1) ini, kita akan membahas rumus untuk menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya adalah n kali akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya.

Dengan kata lain, kita akan menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya nx₁ dan nx₂ dengan x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Prinsip dasar dalam menyusun persamaan kuadrat baru adalah dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar. Dengan memanfaatkan kedua rumus tersebut, maka persamaan kuadrat baru dapat kita susun sesuai dengan hubungan akar-akarnya.

Secara umum, persamaan kuadrat baru dirumuskan sebagai berikut :

x2  - (Jumlah akar)x + Hasil kali akar = 0

Biasanya, akan ditulis menggunakan simbol sebagai berikut :

x2  - (a + �)x + a.� = 0

Dengan a dan � adalah akar-akar dari persamaan kuadrat baru.

Rumus Khusus Persamaan Kuadrat Baru Dengan nx₁ dan nx₂

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya nx₁ dan nx₂ dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah di bawah ini :

1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
5. Susun persamaan kuadrat baru

Persamaan Kuadrat Awal :
ax² + bx + c = 0

Jumlah Akar :

x1 + x2 = -b a

Hasil Kali Akar :

x1 . x2 = c a

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru.
Jumlah Akar :
? nx₁ + nx₂ = n (x₁ + x₂)
? nx₁ + nx₂ = n (-b/a)
? nx₁ + nx₂ = -nb/a

Hasil Kali Akar :
? nx₁ . nx₂ = n² (x₁ . x₂)
? nx₁ . nx₂ = n² (c/a)
? nx₁ . nx₂ = n²c/a

Langkah terakhir, kita susun persamaan kuadrat barunya berdasarkan rumus umum yaitu :
? x²  - (Jumlah akar)x + Hasil kali akar = 0
? x²  - (nx₁ + nx₂)x + nx₁ . nx₂ = 0
? x²  - (-nb/a)x + n²c/a = 0
? x²  + (nb/a)x + n²c/a = 0

Untuk menghilangkan penyebutnya, kita kali persamaan dengan a :
? ax²  + nbx + n²c = 0

Kemudian kita bagi dengan  n² sehingga diperoleh :
? (a/ n²)x²  + (b/n)x + c = 0

Persamaan Kuadrat Baru :
Dengan demikian, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya nx₁ dan nx₂ adalah :

a  x2 + b  x + c = 0 n2 n

Kunjungi channel youtube "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang lainnya. Total ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus yang umum dalam persamaan kuadrat.

Contoh Soal dan Pembahasan

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x²  - 4x + 6 = 0, maka susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x₁ dan 2x₂ !

Pembahasan :
Kali ini kita akan coba membahas contoh soal dengan dua cara yaitu menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum 
Persamaan kuadrat awal : x²  - 4x + 6 = 0
Dik : a = 1, b = -4 dan c = 6

Jumlah akar :
? x₁ + x₂ = -b/a
? x₁ + x₂ = -(-4)/1
? x₁ + x₂ = 4

Hasil kali akar :
? x₁ . x₂ = c/a
? x₁ . x₂ = 6/1
? x₁ . x₂ = 6

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
? 2x₁ + 2x₂ = 2 (x₁ + x₂)
? 2x₁ + 2x₂ = 2(4)
? 2x₁ + 2x₂ = 8

Hasil kali akar :
? 2x₁ . 2x₂ = 4 (x₁ . x₂)
? 2x₁ . 2x₂ = 4(6)
? 2x₁ . 2x₂ = 24

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2x₁ dan 2x₂ adalah :
? x²  - (Jumlah akar)x + Hasil kali akar = 0
? x²  - 8x + 24 = 0

Dengan Rumus Khusus
Penyelesaian akan lebih singkat jika kita menggunakan rumus khusus yang telah kita peroleh yaitu :

a  x2 + b  x + c = 0 n2 n

Dari soal diketahui a = 1, b = -4 dan c = 6, maka :
? (a/n²)x²  + (b/n)x + c = 0
? (1/2²)x²  + (-4/2)x + 6 = 0
? (1/4)x²  - 2x + 6 = 0

Untuk menghilangkan penyebutnya, kita kali persamaan dengan 4 :
? x² - 8x + 24 = 0

Hasilnya sama! Terserah anda mau menggunakan cara yang mana. Tapi kami lebih menyarankan cara pertama karena rumus khusus hanya berlaku untuk soal tertentu saja. Dengan begitu anda tidak perlu menghafal terlalu banyak rumus. Cukup hafal rumus utama dan kembangkan sesuai soal.

Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube "Edukiper". Ada sembilan pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.