Pembahasan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

Ujian Nasional Matematika - Dimensi Tiga. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang dimensi tiga atau bangun ruang. Biasanya, ada dua soal tentang bangun ruang yang keluar dalam ujian nasional.

Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal dimensi tiga yang paling sering muncul adalah menentukan jarak antara titik ke bidang pada kubus, menentukan jarak titik ke garis, menentukan jarak antar bidang dalam suatu bangun ruang, dan menentukan besar sudut yang dibentuk oleh dua garis atau bidang.

Kumpulan Soal Ujian Nasional Dimensi Tiga

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah ...

   8v3 cm 8v2 cm 4v6 cm 4v3 cm 4v2 cm

   
   Pembahasan :
   Untuk membantu menyelesaikan soal di atas, ada baiknya jika kita menggambar sebuah kubus sebagai acuan. Berikut ilustrasi untuk kubus ABCD.EFGH :
   
   Dari gambar di bawah, dapat dilihat bahwa jarak titik H dan garis AC kita misalkan HO. Selanjutnya perhatikan segitga DOH (daerah yang diwarnai pada gambar).
   
   

   

   
   Segitiga DOH merupakan segitigu siku-siku dengan siku berada di titik D. Panjang garis DH diketahui 8 cm, sedangkan panjang garis DO adalah setengah dari panjang garis DB.
   
   Ingat bahwa pada kubus, pajang diagonal bidang dan diagonal sisinya adalah :
   

   Diagonal ruang = panjang rusukv3

   Diagonal sisi = panjang rusukv2

   
   Karena DB merupakan diagonal bidang, maka panjang garis DO adalah :
   ? DO = �DB
   ? DO = � (8v2)
   ? DO = 4v2 cm
   
   Nah, sekarang dari segitiga DOH sudah diketahui dua sisinya, dengan demikian panjang garis HO bisa kita cari dengan memanfaatkan dalil phytagoras sebagai berikut :
   ? HO = vDH² + DO²
   ? HO = v8² + (4v2)²
   ? HO = v64 + 32
   ? HO = v96
   ? HO = v16 x 6
   ? HO = 4v6 cm
   Jadi, jarak titik H ke garis AC adalah 4v6 cm.
   

   Jawaban : C
   
   

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang alas ABCD adalah a, maka sin a adalah ...

   �v3 �v2 ?v3 � ?v2

   
   Pembahasan :
   Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini!
   
   

   

   
   AG merupakan diagonal ruang. Bidang alas ABCD dapat diwakili dengan diagonal sisi AC. Sudut antara AG dan AC adalah a seperti terlihat pada gambar di atas.
   
   Selanjutnya perhatikan segitiga AGC. Jika kita lihat, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik c. Panjang CG sama dengan panjang rusuk yaitu 6 cm.
   
   Karena AG merupakan diagonal ruang dan AC adalah diagonal sisi, maka panjang masing-masing diagonal tersebut adalah :
   ? AG = panjang rusukv3 = 6v3 cm
   ? AC = panjang rusukv2 = 2v2 cm
   
   Dengan menggunakan konsep trigonometri, maka berlaku :
   

   ? sin a =	sisi depan
   	sisi miring

   ? sin a =	CG
   	AG

   ? sin a =	6
   	6v3

   ? sin a = ?v3
   

   Jawaban : C
   
   

3. Perhatikan gambar kubus di bawah ini!
   
   
   Jarak bidang ACH dan EGB adalah ...
   

   4v3 cm 2v3 cm 4 cm 6 cm 12 cm

   
   Pembahasan :
   Berikut digambarkan bidang ACH dan EGB. Pada gambar, jarak antara ACH dan EGB dapat diwakilkan oleh garis PQ.
   
   

   

   
   Dari gambar di atas, coba perhatikan bidang BOHP. Bidang BOHP merupakan jajargenjang dengan alas HO dan tinggi PQ. Jadi, kita bisa menentukan jarak antara ACH dan EGB dengan mencari tahu tinggi PQ.
   
   Untuk mengetahui tinggi PQ, maka kita harus tahu dulu luas jajargenjang dan panjang alasnya yaitu panjang HO.
   
   Untuk mengetahu panjang HO, perhatikan segitiga HDO. Dari segitiga HDO diketahui DH = 6v3 cm. Panjang DO adalah setengah dari panjang DB :
   ? DO = �DB
   ? DO = � (6v3.v2)
   ? DO = � (6v6)
   ? DO = 3v6 cm
   
   Dengan demikian panjang HO adalah :
   ? HO = vDH² + DO²
   ? HO = v(6v3)² + (3v6)²
   ? HO = v108 + 54
   ? HO = v162
   ? HO = v81 x 2
   ? HO = 9v2 cm
   
   Selanjutnya perhatikan bidang BDHF. Bidang BDHF terdiri dari segitiga ODH, segitiga BFP dan jajargenjang BOHP. Dengan demikian berlaku : 
   ? Luas BOHP = Luas BDHF - luas ODH - luas BFP
   
   Karena luas segitiga ODH sama dengan luas segitiga BFP, maka :
   ? Luas BOHP = Luas BDHF - 2 luas ODH
   ? Luas BOHP = (DB x DH) - 2(� DO x DH)
   ? Luas BOHP = (DB x DH) - (DO x DH)
   ? Luas BOHP = DH (DB - DO)
   ? Luas BOHP = 6v3(6v6 - 3v6)
   ? Luas BOHP = 6v3(3v6)
   ? Luas BOHP = 18v18
   ? Luas BOHP = 54v2 cm
   
   Nah, sekarang kita sudah bisa menghitung tinggi jajargenjangnya, yaitu :
   ? Luas BOHP = 54v2
   ? alas x tinggi = 54v2
   ? HO x PQ = 54v2
   ? 9v2 PQ = 54v2
   ? PQ = 6 cm
   Jadi, jarak antara bidang ACH dan EGB adalah 6 cm.
   

   Jawaban : D
   
   

4. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDHF adalah ....
   

   90o 60o 45o 30o 15o

   
   Pembahasan :
   Perhatikan gambar di bawah ini!
   
   

   

   
   Pada gambar di atas, titik P merupakan proyeksi titik G pada bidang BDHF dan garis PB  adalah proyeksi garis GB pada bidang BDHF.
   
   Dengan demikian, sudut antara BG dan BDHF akan sama dengan sudut antara GB dan PB. Dalam gambar sudut tersebut dimisalkan ?.
   
   Selanjutnya perhatikan segitiga GPB. Segitiga GPB merupakan segitiga siku-siku dengan siku di titik P. Sesuai dengan konsep trigonometri, maka berlaku :
   

   ? sin ? =	sisi depan
   	sisi miring

   ? sin ? =	GP
   	GB

   ? sin ? =	� diagonal sisi GE
   	panjang rusukv2

   ? sin ? =	� (panjang rusuk v2)
   	panjang rusukv2

   ? sin ? = �
   ? ? = 30^o
   

   Jawaban : D
   
   

5. Balok ABDC.EFGH dengan panjang AB = BC = 3cm dan AE = 5 cm. P terletak pada AD sehingga AP : PD = 1 : 2 dan Q pada FG sehingga FQ : QG = 2 : 1. Jika a adalah sudut antar PQ dan ABCD, maka tan a adalah ...

   �v5 1/10 v5 �v10 1/7 v14 1/7 v35

   
   Pembahasan :
   Perhatikan gambar di bawah ini !
   
   

   

   
   Dari segitiga POT. Dari segitiga POT diperoleh panjang PT sebagai berikut :
   ? PT = vPO² + OT²
   ? PT = v3² + 1²
   ? PT = v9 + 1
   ? PT = v10 cm
   
   Perhatikan segitiga PTQ. Dengan konsep trigonometri :
   

   ? tan a =	sisi depan
   	sisi samping

   ? tan a =	QT
   	PT

   ? tan a =	5
   	v10

   ? tan a = �v10.
   

   Jawaban : C