Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 1-5

1. Ingkaran dari pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah ....
   • Semua bilangan prima adalah bilangan genap
   • Semua bilangan prima bukan bilangan genap
   • Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
   • Beberapa bilangan genp bukan bilangan prima
   • Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

   
   Pembahasan :
   Pernyataan pada soal merupakan pernyataan berkuantor. Pada pernyataan berkuantor ada dua simbol yang umum digunakan, yaitu simbol ? untuk menyatakan semua atau setiap dan simbol ? untuk menyatakan ada atau beberapa.
   
   Berikut bebeapa keadaan yang umum dalam kalimat berkuantor.
   

   Pernyataan	Ingkaran
   Semua adalah (?x),P(x)	Ada yang tidak (?x),~P(x)
   Ada/beberapa (?x),P(x)	Semua tidak (?x),~P(x)
   Tidak ada yang (?x),~P(x)	Ada beberapa (?x),P(x)

   
   Nah berdasarkan keadaan di atas, maka keadaan yang sesuai untuk soal kita adalah keadaan nomor 2 yaitu untuk pernyataan beberapa. Kita misalkan :
   ? (?x) = beberapa bilangan prima
   ? P(x) = bilangan genap
   
   Maka sesuai dengan prinsip ingkaran di atas, maka ingkaran untuk (?x),P(x) adalah (?x),~P(x) yang artinya :
   ? (?x) = semua bilangan prima
   ? ~P(x) = bukan bilangan genap
   
   Jadi, ingkaran untuk pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah "Semua bilangan prima bukan bilangan genap".
   

   Jawaban : B

Read more : Rumus Logika Matematika dan Tabel Kebenaran.

2. Diketahui premis-premis :
   1. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka ayah akan membelikan bola basket.
   2. Ayah tidak membelikan bola basket.

   Kesimpulan yang sah adalah ....
   

   • Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
   • Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua

   
   Pembahasan :
   Untuk mempersingkat, kita dapat membuat pemisalan sebagai berikut :
   ? Badu rajin belajar = u
   ? Badu patuh pada orangtua = v
   ? Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua = p = (u ? v)
   ? Ayah membelikan bola basket = q
   ? Ayah tidak membelikan bola basket = ~q
   
   Berdasarkan Modus Tollens :
   

   p ? q

   ~q

   ?   ~p

   
   Kita sudah punya kesimpulan yaitu ~p. Sekarang, yang harus kita lakukan adalah mencari arti dari kesimpulan itu. Nah, karena p = (u ? v), maka negasinya adalah :
   ? ~p = ~(u ? v)
   ? ~p = ~u ? ~v
   
   Jadi, kesimpulan yang sah dari pernyataan pada soal adalah "Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua".
   

   Jawaban : C

Read more : Menarik Kesimpulan dengan Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens.

3. Bentuk 3v24 + 2v3(v32 - 2v16) dapat disederhanakan menjadi ....

   A. v6	D. 6v6
   B. 2v6	E. 9v6
   C. 4v6

   
   Pembahasan : 
   Ingat bahwa dalam operasi matematika, perkalian atau bentuk dalam kurung harus diselesaikan lebih dahulu sebelum penjumlahan.
   ? 3v24 + 2v3(v32 - 2v16) = 3v24 + 2v96 - 4v54) 
   ? 3v24 + 2v3(v32 - 2v16) = 3(2v6) + 2(4v6) - 4(3v6) 
   ? 3v24 + 2v3(v32 - 2v16) = 6v6 + 8v6 - 12v6
   ? 3v24 + 2v3(v32 - 2v16) = 2v6
   

   Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Perkalian Bentuk Akar.

4. Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka nilai dari ⁶log 14 adalah ....

   A. a/(a+b)	D. a/a(1+b)
   B. (a+1)/(a+b)	E. (a+1)/(1+b)
   C. (a+1)/(b+1)

   
   Pembahasan :
   Prinsip penyelesaian soal logaritma di atas adalah mengubah bentuk ⁶log 14 dalam bentuk logaritma yang diketahui. Berikut salah satu cara yang bisa kita lakukan :
   

   ? 6log 14 =	2log 14
   	2log 6

   ? 6log 14 =	2log (7.2)
   	2log (3.2)

   ? 6log 14 =	2log 7 + 2log 2
   	2log 3 + 2log 2

   ? 6log 14 =	2log 7 + 1
   	2log 3 + 1

   
   Pada soal diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka :
   

   ? 6log 14 =	a + 1
   	b + 1

   Jawaban : C

Read more : Kumpulan Soal dan Pembahasan Logaritma.

5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah ...
   1. y = x² - 2x + 1
   2. y = x² - 2x + 3
   3. y = x² + 2x - 1
   4. y = x² + 2x + 1
   5. y = x² - 2x - 3

   
   Pembahasan : 
   Untuk menyusun fungsi kuadrat, ada beberapa kondisi khusus yang dapat kita perhatikan :
   

   1. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (x₁, 0) dan (x₂, 0)
      

      y = a(x - x1)(x - x2)

      
      
   2. Jika diketahui titik balik (p,q)

      y = a(x - p)2 + q

   
   Karena titik puncak berupa titik balik minimum diketahui, maka kita gunakan rumus kedua. Pada soal diketahui titik balik (p,q) = (1,2) maka :
   ? y = a(x - p)² + q
   ? y = a(x - 1)² + 2
   
   Karena melalui titik (2,3) maka diketahui x = 2 dan y = 3, sehingga :
   ? y = a(x - 1)² + 2
   ? 3 = a(2 - 1)² + 2
   ? 3 = a + 2
   ? a = 3 - 2
   ? a = 1
   
   Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah : 
   ? y = a(x - 1)² + 2
   ? y = 1(x - 1)² + 2
   ? y = (x - 1)² + 2
   ? y = x² - 2x + 1 + 2
   ? y = x² - 2x + 3
   

   Jawaban : B
   
   

Read more : Contoh Soal dan Jawaban Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat.