Ujian Nasional Matematika - Vektor. Pada pembahasan kali ini, akan dibahas beberapa soal ujian nasional bidang study matematika tentang vektor. Biasanya, ada dua soal tentang vektor yang keluar dalam ujian nasional. Dari beberapa soal yang pernah keluar dalam ujian nasional matematika, model soal vektor yang paling sering muncul adalah menentukan proyeksi vektor orthogonal, menentukan nilai koefisien berdasarkan proyeksi vektor, dan menentukan panjang proyesi vektor atau proyeksi skalar orthogonal.
Kumpulan Soal Ujian Nasional Vektor
- Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7, 8, -1) dan C(1, 0 ,7). Jika AB mewakili vektor u, AC mewakili vektor v, maka proyeksi vektor u pada v adalah ....
- 3i - 6/5j + 12/5k
- 3v5i - 6/5j + 12/5k
- 9/5(v5i - 2j + 4k)
- 17/45(v5i - 2j + 4k)
- 9/55(v5i - 2j + 4k)
|
Pembahasan :Kordinat A, B, dan C bisa kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :
| A = | - | -4 | - | , B = | - | 7 | - | dan C = | - | 1 | - |
| 2 | 8 | 0 |
| 3 | -1 | 7 |
AB mewakili vektor u, maka :
? u = AB
? u = B - A
| ? u = | - | 7 | - | - | - | -4 | - | = | - | 11 | - |
| 8 | 2 | 6 |
| -1 | 3 | -4 |
AC mewakili vektor v, maka :
? v = AC
? v = C - A
| ? v = | - | 1 | - | - | - | -4 | - | = | - | 5 | - |
| 0 | 2 | -2 |
| 7 | 3 | 4 |
Proyeksi vektor u pada v dirumuskan sebagai berikut :
| Proyeksi u pada v = | u . v | . v | | |v|2 |
|
Berdasarkan rumus di atas, kita bisa mencari u.v terlebih dahulu.
| ? u.v = | - | 11 | - | . | - | 5 | - | = 55 - 12 - 16 = 27 |
| 6 | -2 |
| -4 | 4 |
Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor v :
? |v|
2 = (v5
2 + (-2)
2 + 4
2)
2? |v|
2 = (v45)
2? |v|
2 = 45
Langkah terakhir kita tentukan proyeksi u pada v sebagai berikut :
| ? Proyeksi u pada v = | u . v | . v |
| |v|2 |
| ? Proyeksi u pada v = (27/45) | - | 5 | - |
| -2 |
| 4 |
| ? Proyeksi u pada v = 3/5 | - | 5 | - |
| -2 |
| 4 |
| ? Proyeksi u pada v = | - | 3 | - |
| -6/5 |
| 12/5 |
Jadi proyeksi vektor u pada v adalah 3i - 6/5j + 12/5k.
Jawaban : A
Untuk pembahasan lebih lanjut tentang proyeksi vektor, kamu bisa membaca pembahasan contoh soal tentang proyeksi skalar orthogonal dan peroyeksi vektor orthogonal melalui link di bawah ini.
Read more :
Contoh Soal dan Pembahasan Proyeksi Vektor.
- Diketahui vektor a = [-2 3 4] dan b = [x 0 3]. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5, maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah ...
Pembahasan :Panjang proyeksi vektor a pada b dapat dirumuskan sebagai berikut :
| Panjang Proyeksi a pd b = | a . b | | |b| |
|
Dari soal diketahui panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5, maka :
| ? 4/5 = | [-2 3 4] . [x 0 3] |
| v(x2 + 02 + 32) |
| ? 4/5 = | -2x + 0 + 12 |
| v(x2 + 9) |
? 5(-2x + 12) = 4(v(x
2 + 9))
? -10x + 60 = 4v(x
2 + 9)
? (-10x + 60)
2 = {4v(x
2 + 9)}
2 ? 100x
2 + 1200x + 3600 = 16(x
2 + 9)
? 100x
2 + 1200x + 3600 = 16x
2 + 144
? 84x
2 + 1200x + 3456 = 0
? 7x
2 + 100x + 288 = 0
? (7x - 72)(x - 4) = 0
? x = 72/7 atau x = 4
Jawaban : B
- Diketahui segitiga ABC, dengan A(0, 0, 0), B(2, 2, 0) dan C(0, 2, 2). Proyeksi orthogonal AB pada AC adalah ....
- j + k
- i + j
- -i + j
- i + j - �k
- -�i - j
|
Pembahasan :Kordinat A, B, dan C bisa kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :
| A = | - | 0 | - | , B = | - | 2 | - | dan C = | - | 0 | - |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 2 |
Vektor AB :
? AB = B - A
| ? AB = | - | 2 | - | - | - | 0 | - | = | - | 2 | - |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 0 | 0 |
Vektor AC :
? AC = C - A
| ? AC = | - | 0 | - | - | - | 0 | - | = | - | 0 | - |
| 2 | 0 | 2 |
| 2 | 0 | 2 |
Secara umum proyeksi vektor a ke vektor b dapat dirumuskan seperti gambar di bawah ini. Pada rumus tersebut, c merupakan vektor proyeksi a pada b.
Sesuai dengan rumus di atas, jika kita msialkan proyeksi vektor AB pada AC dengan D, maka proyeksi tersebut dapat dirumuskan sebagai berikut :
Berdasarkan rumus di atas, kita bisa mencari AB.AC terlebih dahulu.
| ? AB.AC = | - | 2 | - | . | - | 0 | - | = 0 + 4 + 0 = 4 |
| 2 | 2 |
| 0 | 2 |
Selanjutnya kita cari kuadrat dari besar vektor AC :
? |AC|
2 = (v0
2 + 2
2 + 2
2)
2? |AC|
2 = (v8)
2? |AC|
2 = 8
Langkah terakhir kita tentukan proyeksi AB pada AC sebagai berikut :
Jadi proyeksi vektor AB pada AC adalah j + k.
Jawaban : A
Simak pembahasan tentang perkalian vektor untuk melihat perbedaan antara perkalian titik dan perkalian silang pada vektor. Pada link di bawah ini, dibahas beberapa contoh tentang perkalian titik dua vektor.
Read more :
Contoh Soal dan Pembahasan Perkalian Titik Vektor.
- Diketahui vektor a = 3i - 4j - 4k, b = 2i - j + 3k, dan c = 4i - 3j + 5k. Panjang proyeksi vektor (a + b) pada c adalah ....
| A. 3v2 | D. 6v2 |
| B. 4v2 | E. 7v2 |
| C. 5v2 |
|
Pembahasan :Vektor a, b, dan c bisa kita tulis dalam bentuk kolom sebagai berikut :
| a = | - | 3 | - | , b = | - | 2 | - | dan c = | - | 4 | - |
| -4 | -1 | -3 |
| -4 | 3 | 5 |
Vektor (a + b) :
? (a+b) = a + b
| ? (a+b) = | - | 3 | - | + | - | 2 | - | = | - | 5 | - |
| -4 | -1 | -5 |
| -4 | 3 | -1 |
Jika kita misalkan proyeksi vektor (a+b) ke c adalah d, maka panjang proyeksi vektor (a+b) ke c dapat dirumuskan :
Sebelumnya kita cari (a+b).c terlebih dahulu.
| ? (a+b) . c = | - | 5 | - | . | - | 4 | - | = 20 + 15 - 5 = 30 |
| -5 | -3 |
| -1 | 5 |
Selanjutnya kita cari besar vektor c :
? |c| = v(4
2 + -3
2 + 5
2)
? |c| = v50
? |c| = 5v2
Dengan demikian panjang proyeksi vektor (a+b) pada c adalah :
? |d| = 3v2
Jawaban : A
- Diberikan vektor a, b, dan c sebagai berikut :
| a = | - | 1 | - | , b = | - | 2 | - | dan c = | - | 0 | - |
| 1 | 2v2 | q |
| v2 | p | v2 |
Jika panjang proyeksi vektor b pada a adalah 1 dan vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka nilai p + q adalah ...
Pembahasan :Panjang proyeksi vektor b pada a sama dengan 1, maka :
| ? 1 = | 2 + 2v2 + pv2 |
| v(12 + 12 + (v2)2) |
? 2 = 2 + 2v2 + pv2
? 2 - 2 - 2v2 = pv2
? -2v2 = pv2
? p = -2
Vektor b tegak lurus dengan vektor c, maka :
? b . c = 0
| ? | - | 2 | - | . | - | 0 | - | = 0 |
| 2v2 | q |
| -2 | v2 |
? 0 + 2qv2 - 2v2 = 0
? 2qv2 = 2v2
? q = 1
Dengan demikian p + q = -2 + 1 = -1.
Jawaban : B
0 komentar:
Posting Komentar